درگ نوسانات و تأثیر آن بر بازده سرمایه گذاری (حسابی) در تجزیه و تحلیل مونت کارلو

در دنیای سرمایه گذاری ، بحث در مورد نرخ بازده متوسط ، هم به صورت عقب مانده (به عنوان مثال ، گزارش نتایج سرمایه گذاری) و به شکلی آینده نگر (به عنوان مثال ، پیش بینی میانگین نرخ رشد سرمایه گذاری برایتأمین مالی اهداف آینده در نرم افزار برنامه ریزی بازنشستگی). با این حال ، واقعیت این است که از آنجا که بازده به یکدیگر مرتبط است - بازده در یک سال ثروت موجود را برای ترکیب در سال بعد افزایش می دهد یا کاهش می یابد - تعیین بازده "متوسط" با افزودن تمام بازده های تاریخی کافی نیستو تقسیم بر تعداد چند نفر.

به جای این رویکرد سنتی "میانگین حسابی" برای محاسبه میانگین ، در صورت بازده سرمایه گذاری ، روش مناسب برای محاسبه بازده متوسط با میانگین هندسی است که اثرات ترکیب یک سری از بازده های بی ثبات را با گذشت زمان در نظر می گیرد. این مهم است ، زیرا در عمل بازده متوسط هندسی هرگز به اندازه میانگین حسابی آن نیست ، به این دلیل که نوسانات همیشه مقداری "کشیدن نوسانات" را تولید می کند ، که می تواند با کم کردن ½ از واریانس سرمایه گذاری (استاندارد ، تخمین زده شود. انحراف مربع) از بازگشت حسابی آن.

خوشبختانه ، واقعیت این است که بیشتر بازده های سرمایه گذاری ، همانطور که معمولاً توسط مشاوران مالی مورد بحث قرار می گیرد ، قبلاً به عنوان بازده هندسی گزارش شده است ، که به طور معمول به عنوان یک نرخ رشد متوسط مرکب (CAGR) ، بازده سالانه یا برچسب مشابه بیان شده است. این بدان معناست که ، بیشتر مشاوران مالی در حال حاضر ارزشهای ثروت آینده را در یک برنامه بازنشستگی با استفاده از فرض بازده هندسی (مناسب) ارائه می دهند.

با این حال ، تخلیه واریانس بر روی دنباله ای از بازده های فرار هنوز اهمیت دارد که مشاوران مالی از آنالیز مونت کارلو استفاده می کنند ، که با طراحی در واقع توالی بازده های بی ثبات تصادفی (بر اساس احتمال وقوع آنها) را برای تعیین نتیجه استراتژی های خاص بازنشستگی انجام می دهد. از آنجا که این واقعیت که درگ نوسانات در حال حاضر بخشی از تجزیه و تحلیل مونت کارلو است به این معنی است که فرض بازده وصل شده به یک طرح مونت کارلو در واقع باید بازده حسابی (بالاتر) باشد و نه نرخ متوسط رشد متوسط سرمایه گذاری. در غیر این صورت ، تأثیر درگ نوسانات به طور موثری دو بار محاسبه می شود ، که می تواند بازده بلند مدت را درک کند و خطر واقعی برنامه بازنشستگی آینده نگر را بیش از حد کند!

خبر خوب این است که برخی از ابزارهای نرم افزاری مونت کارلو با تشخیص اینکه اکثر مشاوران مالی با استفاده از میانگین هندسی استاندارد صنعت ، بازده را گزارش می دهند ، در حال حاضر فرضیات بازپرداخت مشاور را تا میانگین همتایان خود تنظیم می کند. با این حال ، تمام نرم افزارهای مونت کارلو به طور خودکار چنین تنظیماتی را انجام نمی دهند. البته ، در بسیاری از موارد ، مشاوران مالی ممکن است مایل به استفاده از فرضیات بازده کمتری در محیط امروز باشند ، با توجه به ارزش گذاری بالاتر از متوسط بازار و بازده متوسط. با این وجود ، مشاوران باید از این موضوع آگاه باشند که آیا ناخواسته وارد فرضیات بازگشت پایین تر از پیش بینی های بازنشستگی مونت کارلو خود می شوند ، بازده هندسی را به گونه ای ترکیب می کنند که تأثیر آن را دو برابر می کند!

نویسنده: مایکل کیتس

مایکل کیتس رئیس استراتژی برنامه ریزی در ثروت استراتژیک باکینگهام ، ارائه دهنده خدمات مدیریت ثروت در دست است که از هزاران مشاور مالی مستقل حمایت می کند.

علاوه بر این ، او یکی از بنیانگذاران شبکه برنامه ریزی XY ، AdventPay ، FPPathfinder و New Plaer ، ویرایشگر پزشک سابق مجله برنامه ریزی مالی ، میزبان پادکست موفقیت مشاور مالی و ناشر The Poolal است. وبلاگ صنعت برنامه ریزی مالی ، نمای چشم Nerd از طریق وب سایت خود kitces.com ، اختصاص داده شده به پیشرفت دانش در برنامه ریزی مالی. در سال 2010 ، مایکل با یکی از جوایز "قلب برنامه ریزی مالی" FPA به دلیل فداکاری و کار خود در پیشبرد این حرفه شناخته شد.

درک حسابی در مقابل میانگین بازگشت هندسی

رایج ترین نسخه "متوسط" ، که در روزهای ابتدایی مدرسه به کودکان آموزش داده می شود ، به عنوان "میانگین حسابی" یا "میانگین حسابی" شناخته می شود - جاییو تقسیم بر تعداد چند نفر. بنابراین ، به عنوان مثال ، میانگین تعداد دانش آموزان در کلاس با اضافه کردن همه دانش آموزان در تمام کلاس ها و تقسیم بر تعداد کلاس های درس محاسبه می شود ، میانگین قد دانش آموزان در کلاس با افزودن ارتفاعات همه در محاسبه می شودکلاس و تقسیم بر تعداد دانش آموزان ، و میانگین نمره در آزمون ریاضی با اضافه کردن تمام نمرات امتحان و تقسیم بر تعداد افراد کنکور محاسبه می شود.

میانگین حسابی در شرایطی که هر یک از مواردی که اندازه گیری می شوند مستقل از یکدیگر هستند ، مؤثر است. ارتفاع یک دانش آموز هیچ تاثیری در ارتفاعات دانش آموزان دیگر ندارد و نمره امتحان یک آزمون برای دیگران هیچ ارتباطی با دیگران ندارد (با فرض اینکه بدون تقلب نیست!).

در مقابل ، در دنیای بازده سرمایه گذاری ، نتایج یک سال مربوط به نتایج بعدی است ، زیرا هر دو با مبلغ دلار که در سال 1 رشد می کند (با بازده آن سال) قبل از سرمایه گذاری مجدداً پیچیده می شوند (در سال 2 ، یا ادامه برای سرمایه گذاری) در نتیجه ، بازده حسابی ساده نتواند اثرات ترکیبی را که از دنباله بازده سرمایه گذاری رخ می دهد ، ضبط کند.

مثال 1. برای 10 سال گذشته از سال 2007 تا 2016 ، S& P 500 بازده سالانه زیر را داشته است: 5. 49 ٪ ، -37. 00 ٪ ، 26. 46 ٪ ، 15. 06 ٪ ، 2. 11 ٪ ، 16. 00 ٪ ، 32. 39 ٪ ، 13. 69 ٪ ، 1. 38٪ ، و 11. 96 ٪. مبلغ تجمعی این بازده ها 87. 54 ٪ است که می تواند بازده سالانه 8. 75 ٪ را در مدت زمان 10 ساله ایجاد کند. این بدان معناست که سرمایه گذاری 10،000 دلاری در مدت زمان 10 ساله به 23144. 74 دلار افزایش یافته است.

به جز معلوم است که سرمایه گذاری واقعی 10،000 دلاری در S& P 500 در این دوره زمانی فقط به 19،568. 08 دلار افزایش یافته است. از آنجا که این واقعیت که بازده سال اول 5. 49 ٪ به معنای سال 2 بود ، 10،000 دلار برای تجربه کاه ش-37 ٪ سرمایه گذاری نشده بود ، 10،549 دلار وجود داشت. و تا سال سوم ، 10،000 دلار (دوباره) سرمایه گذاری نشده است تا بهبودی 26. 46 ٪ را تجربه کند ، زیرا این نمونه کارها به 6،645. 87 دلار کاهش می یابد. و تا سال چهارم ، بازده 15. 06 ٪ فقط با 8،404. 37 دلار مانده از پایان سال قبل تجربه می شد. و غیره

به عبارت دیگر ، این واقعیت که بازده هر سال برای تأثیرگذاری تعادل سرمایه گذاری در سال بعد تأثیر می گذارد ، به این معنی است که صرفاً بازده هر سال و تقسیم به تعداد زیادی از آنها ، برای تعیین میزان متوسط رشد کافی نیست. نمونه کارها در واقع تجربه کرده است. در عوض ، بازده متوسط واقعی تا حدودی پایین تر است ، تا این واقعیت را به خود اختصاص دهد که بازده های بالاتر و پایین تری وجود داشته است که در طول مسیر پیچیده شده است. این به عنوان میانگین هندسی یا بازده متوسط هندسی شناخته می شود.

میانگین هندسی میانگین نرخ رشد سالانه را نشان می دهد که می تواند مقدار معادل ثروت نهایی را با یک سری خط مستقیم بازده ایجاد کند ، حتی اگر بازده در واقع در یک خط مستقیم اتفاق نمی افتد. همچنین به عنوان بازپرداخت سالانه IZED یا چیزی که میانگین رشد متوسط (CAGR) است ، شناخته می شود ، بازده متوسط هندسی ممکن است در هر سال خاص با بازده واقعی مطابقت نداشته باشد ، اما با تعریف ، در پایان به ثروت تجمعی معادل ترکیب می شودبازه زمانی. در مثال قبلی ، بازده هندسی یا CAGR 6. 94 ٪ خواهد بود.

درگ نوسانات: چگونه واریانس سرمایه گذاری حساب را تخلیه می کند

همانطور که در مثال بالا نشان داده شده است ، بازده هندسی پایین تر از میانگین بازده حسابی بود ، در حدود 1. 81 ٪ ، به این دلیل که بازده بی ثبات ترکیبی با بازار خرس اولیه هرگز کاملاً به آنچه بازده خط مستقیم اضافه شده استبشر

با این حال ، واقعیت این است که این تفاوت بین وسایل حسابی و هندسی فقط برای این سری خاص از بازده های بی ثبات با بازار خرس منحصر به فرد نیست. در حقیقت ، هر سطح از نوسانات مداوم باعث می شود میانگین هندسی میانگین حسابی خود را تاخیر کند.

مثال 2. طی 10 سال گذشته (از 2007-2016) ، بازده سالانه شاخص اوراق قرضه کلیز 6. 97 ٪ ، 5. 24 ٪ ، 5. 93 ٪ ، 6. 54 ٪ ، 7. 84 ٪ ، 4. 21 ٪ ، -2. 02 ٪ ، 5. 97 ٪ بوده است.، 0. 55 ٪ و 2. 65 ٪. به طور تجمعی ، این بازده ها به 43. 88 ٪ اضافه می شود ، که به شاخص اوراق قرضه بارکلیز میانگین بازده سالانه 4. 39 ٪ و سرمایه گذاری 10،000 دلار تا 15،364. 05 دلار می دهد. با این حال ، در واقعیت ، یک سرمایه گذاری 10،000 دلاری در این دنباله از اوراق قرضه کل بارکیز به "فقط" 15،301. 19 دلار تبدیل شده است ، که این یک میانگین هندسی یا نرخ متوسط رشد ترکیبی است ، فقط 4. 35 ٪ (نه 4. 39 ٪).

نکته قابل توجه ، در این مثال ، بازده متوسط هندسی فقط کمی پایین تر از میانگین حسابی آن بود. با این وجود ، این واقعیت باقی مانده است که حتی با یک دنباله کمتری ، که فقط ترکیب خوبی از جلو دارد ، میانگین هندسی هنوز پایین تر بود.

شکاف اجتناب ناپذیر بین میانگین حسابی و بازده متوسط هندسی اغلب "کشیدن نوسانات" نامیده می شود ، زیرا از نظر ریاضی ، بازده بی ثبات تر است ، شکاف بیشتری وجود خواهد داشت. اگرچه میزان دقیق کشیدن نوسانات با توالی دقیق بازده و دامنه نوسانات متفاوت خواهد بود ، می توان با کم کردن ½ از واریانس از میانگین حسابی تقریب داد (جایی که واریانس انحراف استاندارد است ، یا برعکس انحراف استاندارد است. ریشه مربع واریانس).

مثال 3. ادامه مثالهای قبلی ، انحراف استاندارد سری بازگشت S& P 500 18. 86 ٪ بود که معادل واریانس 3. 56 ٪ است. از طرف دیگر ، بازده اوراق قرضه بارکلیز دارای انحراف استاندارد 3. 12 ٪ یا واریانس 0. 10 ٪ بود. بر این اساس ، این بدان معنی است که با بازده متوسط حسابی 8. 75 ٪ در S& P 500 ، بازده هندسی 8. 75 ٪ - 3. 56 ٪ / 2 = 6. 97 ٪ خواهد بود ، که کاملاً نزدیک به میانگین هندسی واقعی 6. 94 ٪ است. به طور مشابه ، پیوند کل بارکلی بازده حسابی 4. 39 ٪ داشت که می تواند با 0. 10 ٪ / 2 به میانگین هندسی تخمین زده شده از 4. 34 ٪ کاهش یابد ، که بسیار نزدیک به میانگین هندسی واقعی 4. 35 ٪ است.

در عمل ، برآورد میانگین هندسی از همتای حسابی آن و انحراف استاندارد (و واریانس) ممکن است کاملاً تراز نشود ، زیرا مجموعه محدودی از نقاط داده ممکن است کاملاً مطابق با توزیع عادی اساسی باشد که این فرض فرمول مبتنی بر آن است. با این وجود ، همانطور که در مثالهای بالا نشان داده شده است ، به طور معمول بسیار نزدیک است-در این حالت ، در 3 نقطه پایه برای بازگشت هندسی یک سری 10 ساله بازده سهام و در 1 نقطه پایه برای میانگین هندسی 10-بازده اوراق قرضه سال.

پیششی

در حالی که تأثیر نوسانات در بازده حسابی مرکب اغلب "کشیدن نوسانات" یا "تخلیه واریانس" نامیده می شود که بازده را برای رسیدن به یک بازده متوسط هندسی (پایین) کاهش می دهد ، واقعیت این است که میانگین حسابی یک روش نادرست برای آن استدر وهله اول بازده های طولانی مدت را شرح دهید. از آنجا که هرگز به معنای توصیف میانگین یک سری بازده "مرکب" مرتبط در وهله اول نبود. این برای تعیین کمیت میانگین یک سری مستقل از نقاط داده بود.

خوشبختانه ، در عمل تقریباً تمام "بازده" هایی که در زمینه سرمایه گذاری مورد بحث قرار می گیرند ، در حال حاضر مبتنی بر میانگین هندسی است. این که آیا این یک نرخ رشد سالانه مرکب (CAGR) است ، یا در مورد بازده سالانه IZED بحث می کند. و هر دو بازده با وزن و وزن دلار ذاتاً اقدامات مربوط به نرخ مرکب رشد در یک نمونه کارها هستند.

با این حال ، این واقعیت که بازده ، همانطور که به طور معمول مورد بحث قرار می گیرد ، مبتنی بر بازده هندسی است ، به این معنی است که مشاوران مالی هنوز باید در نحوه ترجمه نرخ بازده به فرضیات مناسب برای استفاده در پیش بینی های بازنشستگی آینده محتاط باشند.

خوشبختانه ، هنگام انجام یک پیش بینی بازنشستگی سنتی "مستقیم" ، که ثروت آینده را بر اساس برخی از نرخ رشد سالانه متوسط سالانه (و کمک های مداوم یا برداشت) تخمین می زند ، بازده هندسی بازده مناسب برای استفاده است. همانطور که از نظر تعریف ، بازده متوسط هندسی بازده است که در پایان دوره زمانی دلار مرکب صحیح تولید می کند.

با این حال ، وقتی صحبت از فرضیات مونت کارلو می شود ، فرض بازده مناسب میانگین حسابی است ، نه میانگین بازده هندسی. دلیل این امر این است که کل نکته تجزیه و تحلیل مونت کارلو فقط تخمین بازگشت خط مستقیم برای رسیدن به ثروت نهایی نیست ، بلکه در واقع نتایج یک سری از بازده های تصادفی (و در نتیجه بی ثبات) را بر اساس احتمال وقوع آنها باز می گرداند. بشر

به عبارت دیگر ، میانگین بازده ناخالص (حسابی) که به آنالیز مونت کارلو وصل می شوند ، به طور خودکار به بازده هندسی معادل در فرآیند پیش بینی نوسانات سالانه کاهش می یابد. این بدان معناست که اگر بازده متوسط هندسی فرض شروع باشد ، همراه با یک فرض نوسانات انحراف استاندارد ، و سپس یک سری تصادفی از بازده مونت کارلو بر اساس آن نوسانات اساسی ترسیم می شود ، نتیجه نهایی پیش بینی های بازنشستگی خواهد بود که بازده هندسی پایین تر از آن است. مورد نظر.

مثال 4. جرمی برای یک مشتری 65 ساله یک پیش بینی بازنشستگی 30 ساله را اجرا می کند ، جایی که فرض می شود سهام دارای متوسط رشد سالانه 10 ٪ است و فرض بر این است که اوراق قرضه 5 ٪ رشد می کند ، مطابق با طولانی آنهاسطح بازگشت تاریخی 90 ساله. فرض بر این است که انحرافات استاندارد به ترتیب 17 ٪ و 5 ٪ است. اگر این فرضیات - از 10 ٪ بازده و 17 ٪ انحراف استاندارد برای سهام و 5 ٪ بازده و 5 ٪ انحراف استاندارد برای اوراق قرضه - به ابزارهای آنالیز مونت کارلو وصل شوند ، بازده هندسی نهایی (به دلیل درگ نوسانات) خواهد بودتقریباً 8. 56 ٪ برای سهام و 4. 75 ٪ برای اوراق قرضه (یا اندکی بالاتر از یک بار تأثیر مثبت کوچک برای تعادل مجدد نیز گنجانده شده است). به جز ، همانطور که فقط اشاره شد ، بازده هندسی بلند مدت برای سهام و اوراق قرضه 10 ٪ و 5 ٪ ، نه 8. 56 ٪ و 4. 75 ٪!

برای دستیابی به تجزیه و تحلیل مونت کارلو که در آن بازده هندسی نهایی مطابق با میانگین های بلند مدت مورد نظر است ، جرمی باید به داده های اصلی برگردد تا میانگین حسابی (بالاتر) که بازده ها بر اساس آن مستقر شده اند ، یا متناوب فقطفرضیات بازده را با ½ واریانس افزایش داد تا بازده حسابی اصلی را تخمین بزند. این امر می تواند بازده فرض شده (حسابی) 11. 45 ٪ برای سهام و 5. 25 ٪ برای اوراق قرضه را ایجاد کند ... به گونه ای که پس از تأثیر در کشیدن نوسانات ، بازده نهایی تقریباً 10 ٪ برای سهام و 5 ٪ برای پایان می یابداوراق قرضه.

و نکته قابل توجه ، تأثیر تجمعی این تفاوت قابل توجه است. اگر مشتری دارای یک نمونه کارها 50/50 باشد ، بازده ترکیبی بلند مدت مشتری فقط 6. 65 ٪ (یا کمی بالاتر با یک پاداش کوچک تعادل بالقوه) خواهد بود ، در حالی که آنها باید 7. 5 ٪ بودند ، این به معنای تأثیر چرخش نوسانات است. با کاهش 0. 85 ٪ در بازده های واقعی طولانی مدت.

به نوبه خود ، این بدان معناست که اگر جرمی قصد داشت 5 ٪ میزان برداشت اولیه را انجام دهد ، یک تجزیه و تحلیل مناسب مونت کارلو (بر اساس وسایل حسابی تاریخی) احتمال موفقیت 87 ٪ (و بازگشت مناسب طولانی مدت)، اما موردی که از بازگشت هندسی استفاده کرده است (گویا این یک حسابی بود ، حتی اگر اینطور نباشد!) فقط 76 ٪ موفقیت را خواهد داشت (با بازده بلند مدت به طور قابل ملاحظه ای زیر آنچه که بازده هندسی تصور می شدبودن)!

همانطور که گرافیک فوق نشان می دهد ، هنگامی که از بازده هندسی به عنوان ورودی مونت کارلو استفاده می شود ، نتایج نهایی بازده کمتری را نسبت به آنچه در نظر گرفته شده است ، ایجاد می کند و در نتیجه احتمال شکست بیشتر می شود ، زیرا این طرح به طور مؤثر دو برابر تأثیر کشیدن نوسانات را می باشد. از آنجا که بازده هندسی از قبل شامل نوسانات درگ است ، و استفاده از بازده هندسی در یک طرح مونت کارلو فقط یک لایه دوم از کشش نوسانات اضافه می کند ، هنگامی که نرم افزار (دوباره) تأثیر آینده نوسانات را نشان می دهد. در مقابل ، هنگامی که بازده حسابی به عنوان فرض در جلو استفاده می شود ، نتایج نهایی مطابق با بازده هندسی که در پایان انتظار می رود ، سازگار است.

البته ، در محیط امروز با ارزش گذاری بالای بازار و بازده پایین ، بسیاری از مشاوران مالی ممکن است بخواهند هنگام ارائه یک برنامه بازنشستگی از بازده متوسط زیر تاریخی استفاده کنند. با این وجود ، پیش بینی کاهش بازده باید نتیجه تمایل عمدی برای کاهش بازده باشد ، نه یک "نتیجه خوش شانس" از ورود اشتباه بازده های هندسی به ابزاری که برای محاسبه با استفاده از فرضیات بازده حسابی است.

از طرف دیگر ، واقعیت این است که برخی از ابزارهای نرم افزاری مونت کارلو در حال حاضر بازده هندسی را به همتای حسابی خود در پشت صحنه افزایش داده اند - با استفاده از نسخه ای از تقریب ذکر شده در بالا - تشخیص اینکه بازده حسابی فرضیات مناسب است ، اما بیشتر مشاوره های مالی توسطپیش فرض بحث و استفاده از بازده هندسی. این بدان معنی است که این نرم افزار در واقع ممکن است به درستی در حال طرح ریزی باشد - با فرض بازگشت پیش فرض (هندسی) مشاور (هندسی). اما حداقل ، روشن کردن ، برای هر پیش بینی خاص بازنشستگی مونت کارلو ، از چه فرضیات بازگشت استفاده می شود ، و اینکه آیا این بازگرداندن حسابی (مناسب) است که در قرعه کشی تصادفی مونت کارلو تکرار می شود ، بسیار مهم است.

با این حال ، نکته آخر این است که تشخیص دهیم که بین فرضیات بازگشت حسابی و هندسی تفاوت مهمی وجود دارد ، هم در مورد کلی توصیف و توضیح بازده (و نقش کشیدن نوسانات) ، و به ویژه با توجه به تأثیر منحصر به فرد آن واریانستخلیه می تواند به طور خاص در پیش بینی های مونت کارلو داشته باشد ... که وارد کردن نسخه مناسب یک فرض بازگشت از جلو هنگام طرح یک برنامه بازنشستگی ، مهم است!

خب چی فکر می کنی؟فرضیات بازدهی که در یک برنامه بازنشستگی استفاده می کنید چیست؟آیا آنها بر اساس بازده حسابی یا هندسی بر اساس هستند؟آیا می خواهید فرضیات بازگشت خود را به جلو تنظیم کنید؟لطفاً نظرات خود را در نظرات زیر به اشتراک بگذارید!