فرفری و واگرایی

چهار عملگر مهم دیفرانسیل شیب ، فرف ، واگرایی و لاپلاسی است.

هدف یادگیری

• جهت و بزرگی حلقه و بزرگی واگرایی را محاسبه کنید

امتیاز کلیدی

مدت، اصطلاح

متن کامل

وکتور حساب های مختلف اپراتورهای دیفرانسیل مختلف تعریف شده در زمینه های مقیاس یا بردار ، که به طور معمول از نظر اپراتور DEL بیان می شوند ($ nabla $) بیان می شود. چهار اپراتور مهم دیفرانسیل شیب ($ nabla f $) ، curl ($ nabla times mathbf $) ، divergence ($ nabla cdot mathbf $) و laplacian ($ nabla^2 f = nabla cdot nabla f $).

چهار عملگر مهم دیفرانسیل

شیب ، حلقه ، واگرایی و لاپلاسی چهار اپراتور مهم دیفرانسیل هستند.

حلقه

Curl یک اپراتور بردار است که چرخش بی نهایت یک میدان بردار 3 بعدی را توصیف می کند. در هر نقطه از این زمینه ، حلقه آن میدان توسط یک بردار نشان داده می شود. ویژگی های این بردار - طول و جهت - چرخش را در آن نقطه مشخص می کند.

جهت حلقه محور چرخش است ، همانطور که توسط قانون دست راست تعیین می شود ، و بزرگی حلقه ، بزرگی چرخش است. اگر میدان بردار نشان دهنده سرعت جریان یک مایع در حال حرکت باشد ، سپس حلقه چگالی گردش مایعات است. میدان بردار که حلقه آن صفر است ، غیرقانونی نامیده می شود. حلقه نوعی تمایز برای زمینه های بردار است. شکل مربوط به قضیه اساسی حساب ، قضیه استوکس است که انتگرال سطح حلقه یک قسمت بردار را به انتگرال خط میدان بردار در اطراف منحنی مرز نشان می دهد.

حلقه یک قسمت بردار $ Mathbf $ ، که با $ nabla times mathbf $ مشخص شده است ، در یک نقطه از نظر پیش بینی خود بر روی خطوط مختلف از طریق نقطه تعریف می شود. اگر $ کلاه<mathbf >$ هر بردار واحد است ، پیش بینی حلقه $ Mathbf $ بر روی کلاه $ <mathbf >$ تعریف شده است که مقدار محدود کننده یک انتگرال خط بسته در یک هواپیما متعامد به کلاه $ است<mathbf >$ به عنوان مسیر مورد استفاده در انتگرال به طور نامتناهی نزدیک به نقطه ، تقسیم بر منطقه محصور شده است.

حلقه توسط:

واگرایی

واگرایی یک اپراتور بردار است که میزان منبع یا سینک یک میدان بردار را در یک نقطه معین از نظر یک مقیاس امضا شده اندازه گیری می کند. از نظر فنی تر ، واگرایی نشان دهنده چگالی حجم شار بیرونی یک میدان بردار از یک حجم بی نهایت در اطراف یک نقطه معین است.

از نظر فیزیکی ، واگرایی از یک میدان بردار سه بعدی میزان جریان میدان بردار مانند یک منبع یا یک سینک در یک نقطه معین است. این یک اقدام محلی از "خروج" آن است - میزان خروج بیشتر از یک منطقه بی نهایت از فضا از ورود به آن. اگر واگرایی در مقطعی غیرزرو باشد ، باید در آن موقعیت یک منبع یا سینک وجود داشته باشد.(توجه داشته باشید که ما تصور می کنیم که میدان بردار مانند میدان بردار سرعت یک سیال (در حال حرکت) باشد وقتی از اصطلاحات جریان ، سینک و غیره استفاده می کنیم.)

با دقت تر ، واگرایی یک قسمت بردار $ Mathbf $ در یک نقطه $ P $ به عنوان حد مجاز جریان خالص $ Mathbf $ در مرز صاف یک منطقه سه بعدی $ v $ تقسیم بر حجم تعریف می شود. از $ v $ به عنوان $ V $ به $ P $ کاهش می یابد. به طور رسمی:

در جایی که $ سمت چپ | V RIGHT | $ حجم $ v $ ، $ s (v) $ مرز $ v $ است ، و انتگرال یک انتگرال سطح است که N واحد بیرونی برای آن سطح طبیعی است.

• • Curl یک اپراتور بردار است که چرخش بی نهایت یک میدان بردار سه بعدی را توصیف می کند.
  • جهت حلقه محور چرخش است ، همانطور که توسط قانون دست راست تعیین می شود ، و بزرگی حلقه ، بزرگی چرخش است.
  • واگرایی یک اپراتور بردار است که میزان منبع یا سینک یک میدان بردار را در یک نقطه معین از نظر یک مقیاس امضا شده اندازه گیری می کند.
  • شیب یک تابع $ y = f (x) $ یا نمودار چنین عملکردی ، نرخ تغییر $ y $ با توجه به $ x $ ؛یعنی مبلغی که $ y $ برای یک (اغلب واحد) تغییر می کند در x $ $ تغییر می کند