کواریانس در مقابل همبستگی: تفاوت برای دانستن

بیشتر مقالات مربوط به احتمال و آمار ، درک اساسی از کواریانس و همبستگی را فرض می کنند ، اما این مفاهیم در واقع به چه معنی هستند؟

نوشته شده توسط Srishti Saha

دانشمند داده NLP در شرکت reptrak دانشمند داده NLP در شرکت Reptrak.

به روزرسانی نویسنده در ساخت به روز شده توسط متیو اروین |10 مارس 2023 دانشمند ارشد داده در یک صندوق پرچین مستقر در شهر نیویورک بازبینی شده بوسیله صدراچ پیر |08 اوت ، 2022

کواریانس در مقابل همبستگی دو مفهوم مجزا در آمار و نظریه احتمال است ، اما در واقع در عمل به چه معنی است؟مهمتر از همه ، چه زمانی از آنها استفاده می کنیم؟به عبارت ساده: ما از هر دو این مفهوم برای درک روابط بین متغیرهای داده و مقادیر استفاده می کنیم. ما می توانیم رابطه بین متغیرها را تعیین کنیم و سپس از این یادگیری ها برای انتخاب ، اضافه کردن یا تغییر متغیرها برای مدل سازی پیش بینی ، تولید بینش یا حتی داستان پردازی با استفاده از داده ها استفاده کنیم. بنابراین ، هر دو همبستگی و کواریانس از کاربرد بالایی در یادگیری ماشین و تجزیه و تحلیل داده ها برخوردار هستند. برای کسب اطلاعات بیشتر ، اجازه دهید شیرجه بزنیم!

کواریانس در مقابل همبستگی

• هم کواریانس و هم همبستگی رابطه و وابستگی بین دو متغیر را اندازه گیری می کنند.
• کواریانس نشانگر جهت رابطه خطی بین متغیرها است.
• همبستگی هم قدرت و هم جهت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کند.
• مقادیر همبستگی استاندارد هستند.
• مقادیر کواریانس استاندارد نیستند.

کواریانس و همبستگی: تفاوت چیست؟

به عبارت ساده ، هم کواریانس و هم همبستگی رابطه و وابستگی بین دو متغیر را اندازه گیری می کنند. کواریانس نشان می دهد جهت رابطه خطی بین متغیرها در حالی که همبستگی هم قدرت و هم جهت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کند. همبستگی تابعی از کواریانس است.

آنچه این دو مفهوم را از هم جدا می کند این واقعیت است که مقادیر همبستگی استاندارد می شوند در حالی که مقادیر کواریانس نیستند.

شما می توانید با تقسیم کواریانس این متغیرها بر اساس محصول انحرافات استاندارد از همان مقادیر ، ضریب همبستگی دو متغیر را بدست آورید. خواهیم دید که این در عمل در زیر به چه معنی است.

مقادیر همبستگی استاندارد هستند در حالی که مقادیر کواریانس نیستند.

فراموش نکنید که انحراف استاندارد تنوع مطلق توزیع مجموعه داده را اندازه گیری می کند. هنگامی که مقادیر کواریانس را با انحراف استاندارد تقسیم می کنید ، در اصل این مقدار را به محدوده محدو د-1 تا 1 تبدیل می کند. این دقیقاً دامنه مقادیر همبستگی است.

یادگیری را با کارشناسان علوم داده ما ادامه دهید رگرسیون چندگانه چیست؟

نحوه محاسبه کواریانس و همبستگی

برای درک کامل کواریانس در مقابل همبستگی ، باید اصطلاحات ریاضی را تعریف کنیم.

نحوه محاسبه کواریانس

کواریانس دو متغیر (x و y) را می توان به عنوان COV (x ، y) نشان داد. اگر e [x] مقدار مورد انتظار یا میانگین نمونه ‘x باشد ، می توان COV (x ، y) را به روش زیر نشان داد:

اگر به یک متغیر واحد نگاه کنیم ، بگوییم "Y ،" Cov (Y ، Y) ، می توانیم عبارت را به روش زیر بنویسیم:

اکنون همانطور که می بینیم ، در تصویر بالا ، "S²" یا واریانس نمونه برداری ، اساساً کواریانس یک متغیر با خود است. ما همچنین می توانیم این اصطلاح را به روش زیر تعریف کنیم:

در فرمول فوق ، شمارنده معادله (الف) مجموع انحرافات مربع است. در معادله (ب) با دو متغیر x و y ، آن را به عنوان جمع محصولات متقاطع گفته می شود. در فرمول فوق ، n تعداد نمونه های موجود در مجموعه داده ها است. مقدار (n-1) نشانگر درجه آزادی است.

درجه آزادی تعداد نقاط داده مستقل است که در محاسبه تخمین قرار گرفته است.

برای توضیح درجات آزادی ، به یک مثال نگاه کنیم. در مجموعه ای از سه عدد ، میانگین 10 و دو از سه متغیر پنج و 15 است. این بدان معنی است که فقط یک امکان برای مقدار سوم وجود دارد: 10. با هر مجموعه ای از سه عدد با میانگین یکسان ، به عنوان مثال: 12، هشت و 10 یا می گویند نه ، 10 و 11 ، فقط یک مقدار برای هر دو مقدار داده شده در مجموعه وجود دارد. در اصل ، شما می توانید دو مقدار را تغییر دهید و مقدار سوم خود را برطرف می کند. میزان آزادی در اینجا دو است.

به عبارت دیگر ، درجه آزادی تعداد داده های مستقل است که در محاسبه تخمین قرار گرفته است. همانطور که در مثال بالا می بینیم ، لزوماً با تعداد موارد موجود در نمونه (N) برابر نیست.

نحوه محاسبه همبستگی

ما ضریب همبستگی (A. K. A. ضریب همبستگی محصول پیرسون-لحظه یا ضریب همبستگی پیرسون) را با تقسیم کواریانس دو متغیر بر اساس محصول انحرافات استاندارد آنها بدست می آوریم. از نظر ریاضی ، به نظر می رسد:

مقادیر ضریب همبستگی می تواند از 1- تا 1+ باشد. هرچه به +1 ی ا-1 نزدیکتر باشد، این دو متغیر نزدیکتر به هم مرتبط هستند. علامت مثبت نشان دهنده جهت همبستگی است (یعنی اگر یکی از متغیرها افزایش یابد، متغیر دیگر نیز قرار است افزایش یابد).

نمایش ماتریس داده کوواریانس و همبستگی

بیایید کمی عمیق تر کاوش کنیم و به نمایش ماتریسی کوواریانس نگاه کنیم.

برای ماتریس داده ای X، X را به صورت زیر نشان می دهیم:

بردار «xj» اساساً به معنای بردار (n×1) است که از ستون j-ام X که j به مجموعه (1،2،….، p) تعلق دارد، استخراج شده است. به طور مشابه، «xi» بردار (1×p) را از ردیف i-امین X نشان می دهد. در اینجا «i» می تواند مقداری از مجموعه (1،2،…،n) بگیرد.

همچنین می توانید X را به عنوان ماتریسی از متغیرها تفسیر کنید که در آن «xij» متغیر j (ستون) جمع آوری شده از آیتم i (ردیف) است.

برای سهولت مرجع، ردیف ها را آیتم ها/موضوعات و ستون ها متغیر می نامیم. بیایید به میانگین یک ستون از ماتریس داده بالا نگاه کنیم:

با استفاده از مفهوم بالا، بیایید اکنون میانگین ردیف (یعنی میانگین عناصر موجود در ردیف مشخص) را تعریف کنیم.

اکنون که معیارهای فوق را داریم، تعریف ماتریس کوواریانس (S) آسان تر خواهد بود:

در ماتریس فوق می بینیم که بعد ماتریس کوواریانس p×p است. این اساساً یک ماتریس متقارن است (یعنی یک ماتریس مربع t برابر با جابجایی آن [S`]). اصطلاحاتی که ماتریس کوواریانس را ایجاد می کنند، واریانس های یک متغیر معین نامیده می شوند که قطر ماتریس یا کوواریانس دو متغیر را تشکیل می دهند که بقیه فضا را پر می کنند. کوواریانس متغیر j ام با متغیر k معادل کوواریانس متغیر k با متغیر j است (یعنی 'sjk' = 'skj').

ما می توانیم ماتریس کوواریانس را از ماتریس داده ها به روش زیر ایجاد کنیم:

در اینجا، 'Xc' یک ماتریس مرکزی است که میانگین ستون مربوطه از هر عنصر کم شده است. با استفاده از آن به عنوان مؤلفه مرکزی، ماتریس کوواریانس 'S' حاصلضرب جابجایی 'Xc' و 'Xc' خود است، که سپس آن را بر تعداد آیتم ها یا ردیف ها ('n') در ماتریس داده تقسیم می کنیم..

ریاضیات مقدار 's' را به عنوان انحراف استاندارد مجموعه داده ها تعریف می کند.

قبل از اینکه به جلو حرکت کنیم، باید مفهوم واریانس نمونه یا s-squared (s²) را دوباره بررسی کنیم. ما می توانیم انحراف استاندارد یک مجموعه داده را از این مقدار استخراج کنیم.

ریاضیات ارزش را به عنوان انحراف استاندارد مجموعه داده های استاندارد تعریف می کند. این اساساً نشان دهنده میزان پراکندگی یا گسترش داده ها در حدود میانگین آن است.

با استفاده از همان ماتریس داده و ماتریس کواریانس ، اجازه دهید ماتریس همبستگی (R) را تعریف کنیم:

همانطور که در اینجا می بینیم ، ابعاد ماتریس همبستگی دوباره p × p است. حال اگر به عناصر فردی ماتریس همبستگی نگاه کنیم ، مورب اصلی از یک تشکیل شده است. این نشان می دهد که همبستگی یک عنصر با خودش یکی یا بالاترین مقدار ممکن است. عناصر دیگر ، "RJK" ، ضریب همبستگی پیرسون بین دو مقدار است: "XJ" و "XK". همانطور که قبلاً دیدیم ، "XJ" نشانگر ستون J-Th از ماتریس داده ، X است.

با حرکت ، بیایید ببینیم که چگونه ماتریس همبستگی را می توان از ماتریس داده بدست آورد:

در تعریف فوق ، ما "XS" را ماتریس مقیاس (یا استاندارد) می نامیم. در اینجا می بینیم که ماتریس همبستگی به عنوان محصول انتقال ماتریس مقیاس شده با خودش ، تقسیم شده توسط ‘n" تعریف شده است.

پس از تجدید نظر در تعریف انحراف استاندارد در بالا ، مشخص است که ما هر عنصر از ماتریس استاندارد "XS" را با انحراف استاندارد ستون مربوطه تقسیم می کنیم (مشابه ماتریس کواریانس در بالا). این درک ما را تقویت می کند که ماتریس همبستگی یک مشتق استاندارد (یا مقیاس پذیر) ماتریس کواریانس است.(اگر به دنبال عملیات دقیق تر کار و ریاضی برای کشف هستید ، می توانید آنها را بصورت آنلاین پیدا کنید.)

تمایز صفات کواریانس در مقابل همبستگی

کواریانس واحدهای موجود از محصول واحدهای دو متغیر درگیر در فرمول آن را فرض می کند.

از طرف دیگر ، همبستگی بدون بعد است. این یک اندازه گیری بدون واحد از رابطه بین متغیرها است. این امر به این دلیل است که ما ارزش کواریانس را بر اساس محصول انحراف استاندارد که دارای واحدهای یکسانی هستند تقسیم می کنیم.

در حالی که ضرایب همبستگی بی ن-1 و 1+ نهفته است ، کواریانس می تواند هر مقدار بین -∞ و +را بدست آورد.

تغییر مقیاس متغیرها بر ارزش کواریانس تأثیر می گذارد. اگر تمام مقادیر متغیر داده شده را با یک ثابت و تمام مقادیر متغیر دیگر با یک ثابت مشابه یا متفاوت ضرب کنیم ، مقدار کواریانس نیز تغییر می کند. با این حال ، هنگامی که ما این کار را انجام می دهیم ، مقدار همبستگی تحت تأثیر تغییر مقیاس مقادیر نیست.

تفاوت دیگر بین کواریانس در مقابل همبستگی ، دامنه مقادیری است که می توانند فرض کنند. در حالی که ضرایب همبستگی بی ن-1 و 1+ نهفته است ، کواریانس می تواند هر مقدار بین -∞ و +را بدست آورد.

توضیح ساده ای از کواریانس در مقابل همبستگی.|ویدئو: دیو معلم خود را

استفاده از کواریانس در مقابل همبستگی در تجزیه و تحلیل

اکنون که ما با تئوری ریاضی انجام شده ایم ، بیایید بررسی کنیم که چگونه و از کجا می توانیم این کار را در تجزیه و تحلیل داده ها اعمال کنیم.

تجزیه و تحلیل همبستگی ، همانطور که بسیاری از تحلیلگران می دانند ، ابزاری اساسی برای انتخاب ویژگی ها و تجزیه و تحلیل چند متغیره در پیش پردازش داده ها و اکتشافات است. همبستگی به ما کمک می کند تا روابط بین متغیرها را بررسی و برقرار کنیم ، استراتژی که ما در انتخاب ویژگی ها قبل از هر نوع مدل سازی آماری یا تجزیه و تحلیل داده ها به کار می بریم.

PCA (تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی) کاربرد معنی داری از همبستگی بین متغیرها است. ما باید روابط بین متغیرهای موجود در یک مجموعه داده را مطالعه کنیم تا بتوانیم متغیرهای جدیدی را ایجاد کنیم که می تواند تعداد مقادیر اصلی را کاهش دهد ، بدون اینکه به اطلاعات موجود در آنها آسیب برساند. متغیرهای جدید ، که به آن اجزای اصلی نیز گفته می شود ، بر اساس همبستگی بین متغیرهای اصلی موجود تشکیل می شوند. بنابراین چگونه تصمیم می گیریم از چه چیزی استفاده کنیم: ماتریس همبستگی یا ماتریس کواریانس؟به عبارت ساده ، وقتی متغیرها در مقیاس های مشابه و ماتریس همبستگی هستند ، باید از ماتریس کواریانس استفاده کنید.

حالا بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. برای کمک به شما در اجرای ، نمونه هایی را در هر دو R و Python پوشش خواهم داد.

بیایید با بررسی چگونگی تفاوت نتایج PCA هنگام محاسبه با ماتریس همبستگی در مقابل ماتریس کواریانس شروع کنیم.

برای مثال اول در اینجا ، ما داده های "MTCARS" را در R. در نظر خواهیم گرفت

# مجموعه داده های بارگیری در داده های محیط R محلی (MTCARS) # 10 ردیف اول سر مجموعه داده را چاپ کنید (MTCARS ، 10)

می بینیم که همه ستون ها عددی هستند و از این رو می توانیم با تجزیه و تحلیل به جلو حرکت کنیم. ما از عملکرد PRCOMP () از بسته "آمار" برای انجام PCA استفاده خواهیم کرد.

PCA با ماتریس کواریانس

اول ، ما PCA را با ماتریس کواریانس انجام خواهیم داد. برای آن ، ما گزینه SCALE را FALSE تنظیم می کنیم:

# تنظیم مقیاس = گزینه FALSE از ماتریس کواریانس برای بدست آوردن pcs cars. pc. cov = prcomp (mtcars [،-11] ، مقیاس = کاذب) # فروش 11 ستون با نمایه سازی mtcars استفاده می کند.

در اینجا cars. PC. cov نتیجه تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی در مجموعه داده های mtcars با استفاده از ماتریس کوواریانس است. بنابراین، prcomp () پنج معیار کلیدی را برمی گرداند: sdev، چرخش، مرکز، مقیاس و x.

بیایید به طور خلاصه تمام اقدامات را در اینجا مرور کنیم:

• مرکز و مقیاس میانگین مربوطه و انحراف استاندارد متغیرهایی را که قبل از اجرای PCA برای نرمال سازی استفاده کردیم، ارائه می دهند.
• sdev انحراف استاندارد اجزای اصلی را نشان می دهد. به عبارت دیگر، sdev ریشه های مربع مقادیر ویژه را نشان می دهد.
• ماتریس چرخش شامل بارگذاری مؤلفه اصلی است. این مهمترین نتیجه عملکرد است. هر یک از ستون های ماتریس چرخش شامل بردار بارگذاری مولفه اصلی است. می توانیم بارگذاری مؤلفه را به عنوان همبستگی یک متغیر خاص در رایانه شخصی مربوطه (جزء اصلی) نشان دهیم. می تواند مثبت یا منفی را فرض کند. هر چه مقدار بارگذاری بیشتر باشد، همبستگی بیشتر است. با اطلاعات بارگیری کامپوننت، می توانید به راحتی متغیر کلید رایانه شخصی را تفسیر کنید.
• ماتریس x دارای بردارهای امتیاز مؤلفه اصلی است.

اگر به تابع prcomp نگاه کنید، می بینید که آرگومان «scale» در اینجا روی false تنظیم شده است، همانطور که در آرگومان های ورودی مشخص کردیم.

اکنون، بیایید به بردارهای بارگذاری مؤلفه اصلی نگاه کنیم:

برای کمک به تفسیر آنچه در اینجا به آن نگاه می کنیم، بیایید این نتایج را ترسیم کنیم.

برای خواندن این نمودار، به انتهای انتهایی (بالا، پایین، چپ و راست) نگاه کنید. مؤلفه اصلی اول (در سمت چپ و راست) با اندازه «دیسپ» و «اسب بخار» مطابقت دارد. مؤلفه اصلی دوم (PC2) به نظر نمی رسد اندازه گیری قوی داشته باشد.

می توانیم این تحلیل را با خلاصه ای از PCA با ماتریس کوواریانس به پایان برسانیم:

خلاصه (cars. PC. cov)

از این جدول می بینیم که PC1 بیشترین سهم را در تغییرات ایجاد شده داشته است (~92. 7٪. تمام اجزای اصلی دیگر به تدریج سهم کمتری دارند.

به عبارت ساده تر، این بدان معناست که می توانیم تقریباً 93 درصد از واریانس مجموعه داده ها را با استفاده از اولین مؤلفه اصلی با معیارهای 'disp' و 'hp' توضیح دهیم. این با مشاهدات ما از ماتریس چرخش و نمودار بالا مطابقت دارد.. در نتیجه، ما نمی توانیم بینش های مهم زیادی از PCA بر اساس ماتریس کوواریانس استخراج کنیم.

PCA با ماتریس همبستگی

اکنون، بیایید تمرکز خود را به PCA با ماتریس همبستگی تغییر دهیم. برای این کار، تنها کاری که باید انجام دهیم این است که آرگومان مقیاس را روی true قرار دهیم.

# scale=TRUE PCA را با استفاده از ماتریس همبستگی cars انجام می دهد. PC. cor = prcomp(mtcars[,-11], scale=TRUE)

با استفاده از همان تعاریف برای تمام اقدامات فوق ، اکنون می بینیم که اندازه گیری مقیاس دارای مقادیر مربوط به هر متغیر است. ما می توانیم ماتریس چرخش را به روشی مشابه به همراه طرح مشاهده کنیم.

# Cars. pc. cor $ چرخش # biplot biplot (cars. pc. cor) را بدست آورید.

این طرح آموزنده تر به نظر می رسد. این می گوید متغیرهایی مانند "اختلاف" ، "CYL" ، "HP" ، "WT" ، "MPG" ، "DRAT" و "VS" به طور قابل توجهی در PC1 (اولین مؤلفه اصلی) نقش دارند. در همین حال ، "QSEC" ، "دنده" و "AM" سهم قابل توجهی در PC2 دارند. بیایید خلاصه این تحلیل را بررسی کنیم.

یک تغییر مهم که می بینیم افت سهم PC1 در کل تغییرات است. از 92. 7 درصد به 63. 5 درصد کاهش یافت. از طرف دیگر ، سهم PC2 از 7 درصد به 22 درصد افزایش یافته است. علاوه بر این ، مقادیر بارگذاری مؤلفه نشان می دهد که رابطه بین متغیرهای موجود در مجموعه داده ها از راه ساختار و توزیع تر است. اگر به مقادیر انحراف استاندارد در هر دو نتیجه فوق نگاه کنید ، می توانیم تفاوت قابل توجهی دیگر مشاهده کنیم. مقادیر PCA در حالی که از ماتریس همبستگی استفاده می شود به یکدیگر نزدیکتر و در مقایسه با تجزیه و تحلیل با استفاده از ماتریس کواریانس یکنواخت تر است.

تجزیه و تحلیل با ماتریس همبستگی قطعاً ساختار بهتری در داده ها و روابط بین متغیرها را کشف می کند. با استفاده از مثال فوق می توانیم نتیجه بگیریم که وقتی فرد سعی می کند روابط متغیر را با استفاده از همبستگی در مقابل همبستگی تعریف کند ، نتایج تفاوت معنی داری دارد. این به نوبه خود ، بر اهمیت متغیرهایی که برای هرگونه تجزیه و تحلیل بیشتر محاسبه می کنیم ، تأثیر می گذارد. انتخاب پیش بینی کننده ها و متغیرهای مستقل یکی از کاربردهای برجسته چنین تمریناتی است.

حال ، بیایید به مثال دیگری بپردازیم تا بررسی کنیم که آیا استاندارد سازی مجموعه داده ها قبل از انجام PCA در واقع همان نتایج را به ما می دهد. برای نشان دادن چابکی اجرای در سراسر فناوری ها ، این مثال را در پایتون اجرا خواهم کرد. ما مجموعه داده های "Iris" را در نظر خواهیم گرفت.

از مجموعه داده های واردات Sklea ، پاندا را به عنوان pd # بار داده عنبیه iris iris = datastets. load_iris () # از آنجا که این یک دسته است ، ایجاد کنید.. columns = ['sepal_len' ، 'sepal_wid' ، 'petal_len' ، 'petal_wid' ، 'class'] iris_df. dropna (چگونه = "all" ، inplace = true) # هر خط خالی را حذف کنید # فقط 4 ستون اول را انتخاب کنید. آنها متغیر مستقل (x) # هر نوع انتخاب ویژگی یا تجزیه و تحلیل همبستگی باید ابتدا در این Iris_x = iris_df. iloc [: ، [0،1،2،3]] انجام شود.

اکنون مجموعه داده ها را با استفاده از عملکرد داخلی استاندارد می کنیم.

از Sklea. Preprocessing StandardsCale # # اجازه دهید اکنون DataSet IRIS_X_STD = DOYARDARDARDARDSCALER () FIT_TRANSFORM (IRIS_X) را استاندارد کنیم.

من اکنون سه ماتریس را محاسبه کرده ام:

1. ماتریس کواریانس در داده های استاندارد
2. ماتریس همبستگی در داده های استاندارد
3. ماتریس همبستگی در داده های غیر استاندارد

# ماتریس کواریانس در داده های استاندارد میانگین_VEC = np. mean (iris_x_std ، محور = 0) cov_matrix = (iris_x_std - mean_vec) . t. dot ((iris_x_std - mean_vec)) / (iris_x_std. shape [0] -1) چاپ (0] -1) چاپ (0] -1) چاپ (0] -1) چاپ (0] -1)ماتریس Covariance  n ٪ s '٪ cov_matrix) # ماتریس همبستگی: cor_matrix = np. corrcoef (iris_x_std. t) چاپ (' ماتریس همبستگی با استفاده از داده های استاندارد  n ٪ s '٪ cor_matrix) cor_matrix2 = np. corrcoef (iris_x. t)چاپ ('ماتریس همبستگی با استفاده از داده های غیر استاندارد پایه  n ٪ s' ٪ cor_matrix2)

بیایید به نتایج نگاه کنیم:

در اینجا ، به نظر می رسد که نتایج مشابه هستند.

شباهت ها (تفاوت های کسری) درک ما را تقویت می کند که ماتریس همبستگی فقط یک مشتق مقیاس از ماتریس کواریانس است. هر محاسباتی روی این ماتریس ها اکنون باید نتایج یکسان یا مشابه را به همراه داشته باشد.

برای انجام یک PCA در این ماتریس از ابتدا ، ما مجبور خواهیم بود که ویژه و مقادیر ویژه ای را محاسبه کنیم:

EIG_VALS1 ، EIG_VECS1 = NP. LINLANG. EIG (COV_MATRIX) چاپ ('eigenvectors با استفاده از ماتریس کواریانس  n ٪ s' ٪ eig_vecs1) چاپ (' neigenvalues با استفاده از ماتریس کواریانس  n ٪ s' s '٪ eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1) eig_vals1)چاپ (cor_matrix) چاپ ('eigenvectors با استفاده از ماتریس همبستگی داده های استاندارد  n ٪ s' ٪ EIG_VECS2) چاپ (' neigenvalues با استفاده از ماتریس همبستگی داده های استاندارد  n ٪ s ٪ eig_vals2) eig_vals3 ، eig_vals3 = np. linalg. EIG (cor_matrix2) چاپ ('eigenvectors با استفاده از ماتریس همبستگی داده های غیر استاندارد  n ٪ s' ٪ eig_vecs3) چاپ (' neigenvalues با استفاده از ماتریس همبستگی داده های غیرمستقیم  n ٪ s' ٪ eig_vals3)

همانطور که انتظار می رفت ، نتایج حاصل از هر سه ماتریس رابطه یکسان است. ما اکنون نمودارهای واریانس توضیح داده شده را از مقادیر ویژه ای که به دست آوردیم ترسیم خواهیم کرد:

eig_vals1 ، معکوس = درست)] cum_explained_variance1 = np. cumsum (توضیح داده شده_variance1) trace3 = bar (x = ['pc ٪ s' ٪ i برای من در محدوده (1،5)] ، y = توضیح داده شده_variance1 ، Showlegend = false) treace4 =پراکندگی (x = ['pc ٪ s' ٪ i برای i در محدوده (1،5)] ، y = cum_explained_variance1 ، name = 'واریانس تجمعی توضیح داده شده') data2 = داده ها ([trace3 ، trace4]) layout2 = layout (yaxis= yaxis (عنوان = "واریانس توضیح داده شده در درصد") ، عنوان = "واریانس توضیح داده شده توسط اجزای اصلی مختلف با استفاده از ماتریس کواریانس ') شکل 2 = شکل (data = data2 ، layout = layout2) py. iplot (شکل) ###################################جمع (EIG_VALS3) توضیح داده شده_Variance = [(i / tot)*100 برای i در مرتب سازی شده (eig_vals3 ، معکوس = درست)] cum_explained_variance = np. cumsum (توضیح داده شده_ ویرانس) trace1 = نوار (x = ['pc ٪ s' ٪ i برای i در محدوده (1،5)] ، y = توضیح داده شده_ واره ، Showlegend = false) trace2 = پراکندگی (x = ['pc ٪ s' ٪من برای من در محدوده (1،5)] ، y = cum_explained_variance ، name = 'واریانس توضیح داده شده تجمعی') داده = داده ها ([trace1 ، trace2]) طرح = طرح (yaxis = yaxis (عنوان = "توضیح داده شده در درصد") ، عنوان = 'واریانس توضیح داده شده توسط مؤلفه های اصلی مختلف با استفاده از ماتریس همبستگی') شکل = شکل (داده = داده ، طرح = طرح) py. iplot (شکل)

نمودارها شبیه یکدیگر هستند. هر دو نمودار نشان می دهد که PC1 حداکثر سهم حدود 71 درصد را دارد. این تجزیه و تحلیل این واقعیت را تعیین می کند که استاندارد سازی مجموعه داده ها ، سپس محاسبه ماتریس کواریانس و همبستگی ، نتایج مشابهی را به همراه خواهد داشت.

ما می توانیم از این استراتژی ها برای استفاده از مفهوم روابط متغیر قبل از استفاده از هر الگوریتم پیش بینی استفاده کنیم.