آخرین مطالب
امکانات وب
ما توابع دو و سه متغیر را مطالعه کرده ایم ، جایی که ورودی چنین توابع یک نقطه (یا یک نقطه در هواپیما یا در فضا) است و خروجی یک عدد است.
ما همچنین می توانیم توابع ایجاد کنیم که ورودی یک نقطه باشد (دوباره ، چه در هواپیما یا در فضا) ، اما خروجی یک بردار است. به عنوان مثال ، ما می توانیم عملکرد زیر را ایجاد کنیم: f → u2062 (x ، y) = ⟨x + y ، x - y⟩ ، جایی که f → u2062 (2 ، 3) = 5 ⟨، - 1. ما باید به F → اختصاص دهیم که بردار 5 ⟨5 ، - 1⟩ به نقطه (2 ، 3) اختصاص دهیم. به تعبیری ، بردار 5 ⟨، - 1⟩ در نقطه قرار دارد (2 ، 3).
چنین کارکردهایی در هر زمینه ای که بزرگی و جهت در آن مهم باشد بسیار مفید هستند. به عنوان مثال ، ما می توانیم یک تابع F → ایجاد کنیم که نشان دهنده نیروی الکترومغناطیسی است که در یک نقطه توسط یک میدان الکترومغناطیسی یا سرعت هوا در هنگام حرکت در یک هوا در هوا انجام می شود.
از آنجا که این کارکردها بسیار مهم هستند ، باید آنها را به طور رسمی تعریف کنیم.
† † لبه:
- 3 - 2 - 1 1 2 3 - 3 - 2 - 1 1 2 3 x y (a)
- 3 - 2 - 1 1 2 3 - 3 - 2 - 1 1 2 3 x y (b) شکل 15. 2. 1: نشان دادن روش های زمینه های بردار نمودار. λ
تعریف 15. 2. 1 زمینه بردار
(الف) یک میدان بردار در هواپیما یک تابع f → u2062 (x ، y) است که دامنه آن زیر مجموعه ای از ℝ 2 است و خروجی آن یک بردار دو بعدی است: f → u2062 (x ، y) = ⟨m u2062(x ، y) ، n u2062 (x ، y).(ب) یک میدان بردار در فضا یک تابع f → u2062 (x ، y ، z) است که دامنه آن زیر مجموعه ای از 3 پوند است و خروجی آن یک بردار سه بعدی است: f → u2062 (x ، y ، z) =⟨M u2062 (x ، y ، z) ، n u2062 (x ، y ، z) ، p u2062 (x ، y ، z).
این تعریف ممکن است در ابتدا عجیب به نظر برسد ، زیرا یک نوع خاص از عملکرد "زمینه" نامیده می شود. با این حال ، همانطور که عملکرد "فیلد بردارها" را تعیین می کند ، می توان گفت که این زمینه توسط عملکرد تعریف شده است ، و بنابراین زمینه یک تابع است.
تجسم زمینه های بردار به سیمان این اتصال کمک می کند. هنگام نمودار کردن یک میدان بردار در هواپیما ، ایده کلی این است که بردار f → u2062 (x ، y) را در نقطه (x ، y) بکشید. به عنوان مثال ، با استفاده از f → u2062 (x ، y) = ⟨x + y ، x - y⟩ مانند گذشته ، در (1 ، 1) ما ⟨2 ، 0 را ترسیم می کنیم.
در شکل 15. 2. 1 (a) ، می توان مشاهده کرد که بردار ⟨2 ، 0⟩ از نقطه (1 ، 1) ترسیم می شود. در مجموع 8 بردار ترسیم شده اند ، با X - و y-Values - 1 ، 0 ، 1. از بسیاری جهات ، نمودار حاصل آشفتگی است. دشوار است که بگوییم این زمینه "به نظر می رسد" چیست.
در شکل 15. 2. 1 (ب)، همان فیلد با هر بردار F → u2062 (x, y) در مرکز نقطه (x، y) ترسیم شده است. این باعث می شود تصویر بهتری به نظر برسد، اگرچه بردارهای طولانی می توانند باعث سردرگمی شوند: وقتی یک بردار دیگری را قطع می کند، تصویر درهم به نظر می رسد.
† † لبه:
- 3 - 2 - 1 1 2 3 - 3 - 2 - 1 1 2 3 x y (a)
- 3 - 2 - 1 1 2 3 - 3 - 2 - 1 1 2 3 x y (b) شکل 15. 2. 2: نشان دادن روش های نمودارسازی فیلدهای برداری. Λ
یک راه متداول برای رسیدگی به این مشکل، محدود کردن طول هر فلش، و نشان دادن بردارهای بلند با فلش های ضخیم است، همانطور که در شکل 15. 2. 2 (الف) انجام شده است. معمولاً از نمودار یک میدان برداری برای تعیین دقیق بزرگی یک بردار خاص استفاده نمی کنیم. در عوض، ما بیشتر نگران بزرگی نسبی بردارها هستیم: کدام یک بزرگتر از بقیه هستند؟بنابراین محدود کردن طول بردارها مشکلی ندارد.
ترسیم فلش هایی با ضخامت متغیر به بهترین وجه با فناوری انجام می شود. اسناد برنامه نموداری خود را برای عباراتی مانند "فیلدهای برداری" یا "فیلدهای شیب" جستجو کنید تا نحوه انجام آن را بیاموزید. بدیهی است که فناوری به ما اجازه می دهد تا بردارهای زیادی را در یک فیلد برداری به خوبی ترسیم کنیم. در شکل 15. 2. 2 (ب)، همان میدان برداری را می بینیم که با بردارهای زیادی ترسیم شده است و در نهایت تصویر واضحی از نحوه رفتار این فیلد برداری به دست می آوریم.(اگر این میدان برداری سرعت حرکت هوا را در یک سطح صاف نشان دهد، می توانیم ببینیم که هوا به سمت راست بالا یا پایین به چپ حرکت می کند و بسیار آهسته نزدیک مبدا حرکت می کند.)
همانطور که در شکل 15. 2. 3 نشان داده شده است، می توانیم به طور مشابه، فیلدهای برداری را در فضا رسم کنیم، اگرچه اغلب این کار انجام نمی شود. طرح ها خیلی سریع شلوغ می شوند، زیرا تعداد زیادی فلش در فضای کمی کشیده شده است. در شکل 15. 2. 3 فیلد F → = ⟨ - y , x , z ⟩ نمودار شده است. اگر بتوان نمودار را از بالا مشاهده کرد، می توان فلش ها را در دایره ای حول محور z مشاهده کرد. همچنین باید توجه داشت که چگونه فلش های دور از مبدا بزرگتر از فلش های نزدیک به مبدا هستند.
† † حاشیه: ( تمام صفحه ) شکل 15. 2. 3: نمودار یک فیلد برداری در فضا. Λ
این تمرین خوبی است که سعی کنید فیلدهای برداری خاصی را در ذهن خود تجسم کنید. به عنوان مثال، یک جرم نقطه ای در مبدا و میدان برداری را در نظر بگیرید که نشان دهنده نیروی گرانشی اعمال شده توسط جرم در هر نقطه از اتاق است. این میدان شامل فلش هایی است که به سمت مبدا اشاره می کنند و با نزدیک شدن به مبدأ، اندازه آنها افزایش می یابد (زیرا نیروی گرانشی در نزدیکی جرم نقطه قوی ترین است).
ویدیو را تماشا کنید: فیلدهای برداری — طراحی از https://youtu. be/XGWhfSHl8Eo
نماد میدان بردار و اپراتور del
تعریف 15. 2. 1 یک قسمت بردار f → را با استفاده از نماد تعریف می کند
| f → u2062 (x ، y) | = ⟨m u2062 (x ، y) ، n u2062 (x ، y)⟩ و |
| f → u2062 (x ، y ، z) | = ⟨m u2062 (x ، y ، z) ، n u2062 (x ، y ، z) ، p u2062 (x ، y ، z). |
یعنی اجزای f → هر یک از کارکردهای x و y (و همچنین z در فضا) هستند. همانطور که در زمینه های دیگر انجام می شود ، بخش های "x ، y و z" را از نماد رها خواهیم کرد و به مزارع بردار در هواپیما و در فضا مراجعه می کنیم
| f → = ⟨m ، n⟩ و f → = ⟨m ، n ، p⟩ ، |
به ترتیب ، از آنجا که این بوته کاملاً راحت است.
مورد دیگر از نماد مفید خواهد بود: "اپراتور دل."در بخش 13. 6 به یاد بیاورید که چگونه ما از نماد ∇ (تلفظ "del") استفاده کردیم تا شیب یک تابع دو متغیر را نشان دهد. یعنی اگر z = f u2062 (x ، y) ، سپس "del f" = ∇ u2061 f = ⟨f x ، f y.
اکنون ما "اپراتور دل" را تعریف می کنیم. این وکتور است که اجزای آن عملیات مشتق جزئی است.
در هواپیما ، ∇ = ⟨∂ ∂ u2061 x ، ∂ ∂ u2061 y⟩ ؛در فضا ، ∇ = ⟨∂ ∂ u2061 x ، ∂ ∂ u2061 y ، ∂ ∂ u2061 z⟩.
با این تعریف از ∇ ، ما می توانیم شیب ∇ u2061 f را بهتر درک کنیم. همانطور که F یک مقیاس را برمی گرداند ، خصوصیات Scalar و Vector ضرب می دهد
| ∇ u2061 f = ⟨∂ ∂ u2061 u2061 x ، ∂ ∂ u2061 y⟩ u2062 f = ⟨∂ ∂ u2061 x u2062 f ، ∂ ∂ u2061 y u2062 f⟩ = ⟨f x ، f y⟩. |
اکنون اپراتور DEL را در قسمتهای بردار اعمال کنید. بگذارید f → = ⟨x + sin u2061 y ، y 2 + z ، x 2. ما می توانیم از عملیات بردار استفاده کنیم و محصول نقطه ∇ و f → را پیدا کنیم:
| ∇ ⋅ f → | = ⟨∂ ∂ u2061 x ، ∂ ∂ u2061 y ، ∂ ∂ u2061 z⟩ ⟨⟨x + sin u2061 y ، y 2 + z ، x 2⟩ |
| = ∂ ∂ u2061 x u2062 (x + sin u2061 y) + ∂ ∂ u2061 y u2062 (y 2 + z) + ∂ ∂ u2061 z u2062 (x 2) | |
| = 1 + 2 u2062 y. |
ما همچنین می توانیم محصولات متقاطع آنها را محاسبه کنیم:
| ∇ × f → |
| = ⟨∂ ∂ u2061 y u2062 (x 2) - ∂ ∂ u2061 z u2062 (y 2 + z) ، ∂ ∂ u2061 z u2062 (x + sin u2061 y) - ∂ ∂ u2061 x u2062 (x 2) ، ∂ ∂ u2061 u2061x u2062 (y 2 + z) - ∂ ∂ u2061 y u2062 (x + sin u2061 y)⟩ |
| = ⟨ - 1 ، - 2 u2062 x ، - cos u2061 y. |
ما هنوز نمی دانیم که چرا می خواهیم موارد فوق را محاسبه کنیم. با این حال ، همانطور که بعد در مورد خواص زمینه های بردار می آموزیم ، خواهیم دید که چگونه این محصولات نقطه و متقاطع با اپراتور DEL کاملاً مفید هستند.
واگرایی و پیچ و مهره
دو ویژگی از زمینه های بردار خود را بسیار مهم می دانند: واگرایی و حلقه. هر یک "مشتق" ویژه از یک میدان بردار است. یعنی هر یک میزان فوری تغییر یک میدان بردار را اندازه گیری می کند.
اگر قسمت بردار نشان دهنده سرعت یک سیال یا گاز باشد ، واگرایی میدان اندازه گیری "تراکم پذیری" مایعات است. اگر واگرایی در یک نقطه منفی باشد ، به این معنی است که مایع در حال فشرده سازی است: مایعات بیشتر از آنچه خارج می شود وارد نقطه می شود. اگر واگرایی مثبت باشد ، به این معنی است که مایع در حال گسترش است: مایعات بیشتر در آن نقطه از بین می روند. واگرایی صفر به معنای همان مقدار مایعات در حال بیرون رفتن است. اگر واگرایی در همه نقاط صفر باشد ، می گوییم این زمینه غیر قابل فشار است.
به نظر می رسد که اندازه گیری مناسب واگرایی به سادگی ∇ ⋅ F → است ، همانطور که در تعریف زیر بیان شده است.
تعریف 15. 2. 2 واگرایی از یک میدان بردار
واگرایی یک میدان بردار f → است
در هواپیما ، با f → = ⟨m ، n⟩ ، div u2061 f → = m x + n y. در فضا ، با f → = ⟨m ، n ، p⟩ ، div u2061 f → = m x + n y + p z.
Curl اندازه گیری عمل ریسندگی میدان است. بگذارید F → جریان آب را بر روی یک سطح صاف نشان دهد. اگر یک چوب پنبه گرد کوچک در یک نقطه از آب در محل نگه داشته شود ، آیا آب باعث می شود چوب پنبه چرخش کند؟هیچ چرخش با حلقه صفر مطابقت ندارد. چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت مربوط به حلقه مثبت و چرخش در جهت عقربه های ساعت با حلقه منفی است.
در فضا ، اوضاع کمی پیچیده تر است. مجدداً اجازه دهید F → جریان آب را نشان دهد و تصور کنید که یک توپ تنیس را در یک مکان در این جریان به حالت تعلیق درآورد. آب ممکن است باعث شود توپ در امتداد محور بچرخد. اگر چنین است ، حلقه میدان بردار یک بردار است (نه یک مقیاس ، مانند گذشته) ، به موازات محور چرخش ، پیروی از یک قانون دست راست: هنگامی که انگشت شست دست راست شخص در جهت حلقه ، قرار می گیرد. توپ در جهت انگشتان فرش دست می چرخد.
در فضا ، معلوم است که اندازه گیری مناسب از حلقه ، همانطور که در تعریف زیر بیان شده است ، ∇ × f → است. برای پیدا کردن حلقه یک قسمت بردار مسطح f → = ⟨m ، n⟩ ، آن را به صورت f → = ⟨m ، n ، 0⟩ در فضا جاسازی کنید و تعریف محصول متقاطع را اعمال کنید. از آنجا که m و n توابع فقط x و y (و نه z) هستند ، همه مشتقات جزئی با توجه به z 0 می شوند و نتیجه به سادگی ⟨0 ، 0 ، n x - m y است. مؤلفه سوم اندازه گیری حلقه یک قسمت بردار مسطح است.
تعریف 15. 2. 3 حلقه یک قسمت بردار
• بگذارید f → = ⟨m ، n⟩ یک میدان بردار در هواپیما باشد. حلقه f → curl u2061 f → = n x - m y است.• بگذارید f → = ⟨m ، n ، p⟩ یک میدان بردار در فضا باشد. حلقه f → curl u2061 f → = ∇ × f → = ⟨p y - n z ، m z - p x ، n x - m y.
ما کنوانسیون مراجعه به CURL را به عنوان ∇ × F → ، صرف نظر از اینکه F → یک میدان بردار در دو یا سه بعد است ، اتخاذ می کنیم.
اکنون ما محاسبه این مقادیر را انجام می دهیم.
پلتفرم های تجاری...
برچسب :
نویسنده : مریم کاویانی
بازدید : 26
