تفسیر اقتصادی عملیات حساب - تک متغیره

یک روش کاملاً واضح برای دیدن چگونگی حساب کاربری به ما در تفسیر اطلاعات و روابط اقتصادی ، مقایسه عملکردهای کل ، متوسط و حاشیه ای است.

به عنوان مثال ، یک عملکرد کل هزینه ، TC را در نظر بگیرید:

برای یک مقدار معین از Q ، مثلاً q = 10 ، ما می توانیم این عملکرد را به عنوان بگوییم که: وقتی 10 واحد از این کالای خوب تولید می کنیم ، هزینه کل 190 است. ما می خواهیم در مورد چگونگی تحول هزینه ها در تولید بیشتر بدانیمچرخه ، بنابراین بیایید میانگین هزینه را محاسبه کنیم ، که کل هزینه تقسیم بر تعداد واحدهای تولید شده یا س:

بنابراین ، هنگامی که ما 10 واحد از این کالای خوب تولید می کنیم ، متوسط هزینه برای هر واحد 19 است. با این حال ، این تا حدودی فریبنده است ، زیرا ما هنوز نمی دانیم که چگونه هزینه ها به عنوان تولید تغییر می کنند یا تغییر می کنند. به عنوان مثال ، واحد اول (q = 1) برای تولید 10 هزینه دارد. بدیهی است ، اگر میانگین به 19 سالگی پایان یابد و واحد اول 10 هزینه داشته باشد ، پس از تولید واحدهای مختلف ، باید هزینه تولید یک واحد تغییر کند. از طرف دیگر ، برای اینکه فنی تر باشد ، هر بار که Q را تغییر می دهیم ، تغییر در هزینه کل یکسان نیست. بیایید این تغییر را در کل هزینه برای تغییر معین در Q به عنوان هزینه حاشیه تعریف کنیم.

آشنا بنظر رسیدن؟شیب به عنوان نرخ تغییر در متغیر Y (هزینه کل ، در این حالت) برای تغییر معین در متغیر X (q یا واحدهای خوب) تعریف شده است. بنابراین ، گرفتن اولین مشتق یا محاسبه فرمول شیب می تواند هزینه حاشیه ای را برای یک کالای خاص تعیین کند.

در مورد تغییر در هزینه حاشیه ای چطور؟به این ترتیب ، ما نه تنها می توانیم هزینه ها را در یک سطح خاص ارزیابی کنیم ، بلکه می توانیم ببینیم که با افزایش یا کاهش سطح تولید ، هزینه های حاشیه ای ما تغییر می کند. با تشکر از پیشینه حساب ما ، واضح است که می توان با استفاده از مشتق دوم ، تغییر در هزینه حاشیه یا تغییر شیب را محاسبه کرد.

این سه معادله اکنون اطلاعات قابل توجهی در مورد روند هزینه ، با فرمت بسیار واضح به ما می دهد. به عنوان مثال ، هزینه حاشیه تولید 100 مین واحد این کالا را محاسبه کنید.

حال ، فرض کنید رئیس شما می خواهد هزینه های واحد 101 را پیش بینی کنید. شما می توانید هزینه حاشیه ای را دوباره محاسبه کنید ، یا می توانید توجه داشته باشید که مشتق دوم به شما می گوید که انتظار می رود هزینه حاشیه ای با افزایش دو تغییر کند ، برای افزایش هر واحد در Q.

به طور خلاصه ، می توانید با یک عملکرد شروع کنید ، مشتقات اول و دوم را بگیرید و اطلاعات زیادی در مورد رابطه بین متغیرها ، از جمله مقادیر کل ، تغییر در مقادیر کل و تغییر در مقادیر حاشیه ای داشته باشید.

خصوصیات حداکثر نسبی و مطلق و حداقل

از مشتقات اول و دوم نیز می توان برای جستجوی حداکثر و حداقل نقاط یک عملکرد استفاده کرد. به عنوان مثال ، اهداف اقتصادی می تواند شامل حداکثر رساندن سود ، به حداقل رساندن هزینه یا حداکثر رساندن ابزار در میان دیگران باشد.

برای درک ویژگی های نقاط بهینه ، با ویژگی های خود عملکرد شروع کنید. اگر عملکرد در زیر خط مماس در نزدیکی آن نقطه قرار داشته باشد ، یک تابع به عنوان مقعر تعریف می شود. برای روشن شدن ، نمودار یک پارابولا را که به سمت پایین باز می شود تصور کنید. اکنون ، نکته را در بالای پارابولا در نظر بگیرید. با تعریف ، یک خط مماس برای آن نقطه یک خط افقی خواهد بود.

واضح است که نمودار قسمت بالای پارابولا ، در محله نقطه ، همه در زیر خط مماس قرار دارد ، بنابراین ، نمودار در محله آن نقطه مقعر است.

توجه داشته باشید که چقدر مراقبت می شود تا بحث در مورد Concavity به بخشی از عملکرد در نزدیکی نقطه مورد توجه محدود شود. فرض کنید این عملکرد یک چند جمله ای مرتبه بالاتر است ، شکل یک منحنی را با 2 یا بیشتر نقطه عطف می گیرد. تصور می شود عملکردی که قسمت زیر خط مماس افقی بود ، دوباره چرخید و دوباره از خط برگشت. تعریف Concavity فقط به بخشی از عملکرد در نزدیکی نقطه ای که خط مماس منحنی را لمس می کند ، اشاره دارد ، لازم نیست همه جا را روی منحنی نگه دارید.

خود خط مماس را در نظر بگیرید. از بخش گذشته در توابع خطی به یاد بیاورید که شیب یک خط یا عملکرد افقی برابر با صفر است. بنابراین ، شیب در بالا یا نقطه عطف این عملکرد مقعر باید صفر باشد. راه دیگر برای دیدن این موضوع ، در نظر گرفتن نمودار در سمت چپ نقطه عطف است. توجه داشته باشید که این عملکرد به سمت بالا شیب دار است ، یعنی شیب بیشتر از صفر دارد. بخش نمودار در سمت راست نقطه عطف شیب دار به سمت پایین است و دارای شیب منفی یا شیب کمتر از صفر است.

همانطور که از چپ به راست به نمودار نگاه می کنید ، می بینید که شیب اول مثبت است ، به یک عدد مثبت کوچکتر تبدیل می شود که به نقطه عطف نزدیک تر می شوید ، در سمت راست نقطه عطف منفی است و یک منفی بزرگتر می شودتعداد بیشتری را که از نقطه عطف سفر می کنید شماره بگیرید. از آنجا که این یک عملکرد مداوم است ، باید نکته ای وجود داشته باشد که شیب از مثبت به منفی عبور کند. به عبارت دیگر ، برای یک لحظه ، شیب باید صفر باشد. این نکته ما قبلاً به عنوان نقطه عطف شناخته شده ایم.

با این حال ، یک روش بسیار ساده تر برای شناسایی آنچه اتفاق می افتد وجود دارد. به یاد بیاورید که مشتقات دوم اطلاعاتی در مورد تغییر شیب ارائه می دهند. ما می توانیم از آن در رابطه با اولین مشتق در افزایش نقاط x (همانطور که شما به سمت چپ به راست روی نمودار سفر می کنید) استفاده کنیم تا مشخصات شناسایی توابع را مشخص کنیم.

به عنوان مثال ، به عملکرد زیر و نمودار آن نگاه کنید:

ایکس

حرف

f '(x)

F '' (x) < Span> همانطور که به نمودار از چپ به راست نگاه می کنید ، می بینید که شیب اول مثبت است ، به یک عدد مثبت کوچکتر تبدیل می شود که به نقطه عطف نزدیک تر می شوید ، به سمت راست منفی استنقطه عطف ، و به تعداد منفی بیشتری تبدیل می شود و بیشتر از نقطه عطف سفر می کنید. از آنجا که این یک عملکرد مداوم است ، باید نکته ای وجود داشته باشد که شیب از مثبت به منفی عبور کند. به عبارت دیگر ، برای یک لحظه ، شیب باید صفر باشد. این نکته ما قبلاً به عنوان نقطه عطف شناخته شده ایم.